1. 서 론

유한요소법을 이용하여 재료의 소성변형을 해석할 경우 소성변형의 비선형적 특성으로 인하여 해석적으로 해를 구하기 어려우므로, 수치적으로 반복계산을 이용하여 해를 구하게 된다[1]. 이러한 방법을 회귀착점(return mapping method) 방법이라고 부른다. 일반적으로 뉴튼-랩슨 기법 (Newton-Raphson method, NRM) 이 반복계산 방법으로 널리 사용 된다. 반복계산을 수행하기 위하여는 해의 초기 예측값을 필요로 하고, 이 예측값이 해와 너무 큰 오차가 있을 경우는 반복계산이 해에 수렴하지 못하고 발산하게 된다. 즉 반복 계산을 시작하려면 먼저 미지수인 응력과 등가소성변형률 증분의 초기 추정값이 필요하다. 초기 추 정값이 정해에 근접 하다면 반복계산의 횟수는 단축될 수 있고 수렴성은 증가할 것이다. 기존의 방법은 응력의 값으 로 탄성 예측응력을 사용하고, 등가 소성변형률의 증가는 0으로 가정하는 방식이 널리 사용되고 있다. 그러나 이러 한 방식은 초기 예측응력이 과도하게 크거나, 물질의 이방 성이 심대한 경우, 또는 항복함수가 Tresca 조건과 같이 항복면에 모서리(vertex) 부분을 가진 경우, 반복계산이 해 로 수렴하는데 어려움을 겪게 된다[2]. 본 논문에서는 NRM 반복계산의 수렴성을 증대시키기 위하여 초기 예측 값의 정확도를 향상시킬 수 있는 기법을 이용하였다. 이를 소성예측응력(plastic trial stress) 이라고 칭하기로 한다. 제시된 기법은 소성 변형률 속도 포텐셜 함수(strain rate potential)를 사용하여 응력을 계산하는 방법에 기초하고 있다[3].

금속분말을 3D Printing 기법으로 제작한 구조물은 적층 방향에 따라 이방성(anisotropy) 을 나타낸다고 보고되어 있다[4, 5]. 이러한 이방성이 강한 재질에 대하여 Hill의 2 차 이방성 항복 함수를 적용하였고, 소성예측응력(plastic trial stress)을 이용하여 회귀착점 기법을 적용하였다. 3차 원 유한요소법을 적용하여 인장시편의 적층방향에 따른 이방성을 시뮬레이션 할 수 있었다.

본 논문의 기술순서는 다음과 같다. 먼저, 2장에서 소성 변형 해석을 위한 일반적인 NRM 반복계산에 대하여 서 술하였으며, 반복계산의 수렴성을 증대시킬 수 있는 소성 예측응력에 대하여 기술하였다. 3장에서는 Hill의 이방성 항복함수에 대하여 설명하였고, 4장에서 단순화된 평면 응력 문제에 대하여 소성예측응력의 수치적 효율성을 검 증하였다. 5장에서는 적층 구조물에 대한 3차원 유한요소 해석을 수행하였으며 시편의 이방성을 성공적으로 나타낼 수 있었다. 본 논문의 소성변형은 연관 유동 법칙(associated flow rule) 을 가정하였고 등방성 소성경화 법칙을 가정하 였다.

2. 회귀착점 방법과 뉴튼-랩슨 반복계산법(NRM)

소재의 소성변형을 해석하기 위해서는 재료 내부의 응 력 및 소성변형률 값을 시간에 따라 계산하여야 한다. 재 료의 소성거동은 응력과 변형률 사이의 비선형 관계식을 따르고 하중경로에 의존하므로 컴퓨터를 이용해 변형이력 (deformation history)을 따른 수치 해석을 수행하게 된다[1]. 보통 Newton-Raphson 기법(NRM) 을 이용한 반복계산 기 법이 널리 사용되고 있다. NRM 반복계산법은 구하고자 하는 물리량에 대한 초기 예측을 한 후 변수 사이의 부정 합에서 기인하는 잔류오차(residual)의 크기를 줄이기 위한 보정 과정을 거치게 된다. 여기서 초기 예측값의 정확도에 따라 반복계산의 횟수는 변하게 된다[2]. 따라서 초기 예 측값을 얼마나 정확하게 예측하느냐가 계산 시간 및 반복 계산 횟수를 결정하는 중요한 요소이다.

먼저, 회귀착점 방법에서의 NRM 반복계산의 개요는 다 음과 같다. 현재의 응력을 σ_ij(t) 라 하고 변형률 증가량 Δε_ij 가 재료에 가해져서 다음 시간에서의 응력 σ_ij(t + Δt) 을 구하고자 한다. 변형률 증가량 동안 소성변형이 발생한다 면 먼저 항복조건이 만족되어야 한다. 항복함수를 ϕ(σ_ij) 라 고 표시하고, 등방성 소성경화함수를 등가소성변형률 의 함수 로서 나타낸다면, 항복조건은 다음 식 과 같다.

(1)

여기서 방정식은 시간 t + Δt 에서 성립하고, 내연적 오일 러 방정식(implicit Euler method)을 적용하기로 한다. 연관 유동 법칙(associated flow rule)을 적용하면 소성변형률 증 분은 다음 식을 만족하여야 한다[6].

(2)

여기서 소성변형률 증가량 은 전체 변형률 증가량 Δε_ij 에서 탄성 변형률 증가량 을 제외한 값이 된다. 즉, 여기서 C는 탄성계수를 나타내는 텐서이다. (3)식을 (2)식 에 대입하면 다음과 같은 잔류오차 R을 정의할 수 있다.

(3)

(4)

또한 (1)식의 성립 유무를 판단하여야 하므로 잔류 오차 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

(5)

NRM 반복계산(iteration)은 위의 두 가지 잔류오차가 정 해진 허용한도보다 작을 때까지 계속된다. 다음과 같은 전 체 목적함수(merit function)를 정의하면 편리하다[2].

(6)

매 반복계산에서 목적함수가 감소하는 방향으로 변분량 δσ 과 을 결정하고 그 값을 누적한다. 계산과정에서 항복함수의 1계 및 2계 도함수가 필요하다[2].

본 논문에서는 초기응력으로 탄성응력 대신 다음과 같 이 소성변형률 속도 포텐셜 함수(plastic strain rate potential)에 의해 정의되는 소성응력을 사용하고자 한다 [3]. Hill은 연관유동법칙에서 항복함수 ϕ(σ)에 대응하는 소성변형률 속도 포텐셜을 정의하였다[7]. 이 함수를 ψ (Δε ^p)라고 표시한다. 이 때, 연관유동법칙 (2)에 대응하 는 응력 법칙이 다음과 같이 존재함을 제시하였다.

(7)

위 식에서 정의되는 응력은 소성변형하는 물체의 응력 상태를 나타낸다. 본 논문에서는 이 응력을 초기 예측응력 으로 이용하고자 한다. 구체적으로 Fig. 1에 기존의 탄성 예측응력 σ ^tr을 표시하였고, 반경회귀 방법[8]을 사용하여 현재 시간 t(또는 스텝 n) 에서의 항복면과 만나는 응력을 α_yσ ^tr이라고 할 때(단 0 ≤ α ≤ 1), 반경 소성변형률 증분(radial plastic strain increment)을 다음 식으로 정의할 수 있다.

Fig. 1

Schematic picture of radial return mapping algorithm.

(8)

이에 해당하는 등가 소성변형률 증분은 변형률 포텐셜 을 이용하여 이 되며, 위와 같이 등가 소성변형률 증분이 주어졌다면 소성 포텐셜 함수의 도함수를 이용하여 NRM의 초기 예 측응력을 (7)식으로 정의할 수 있다. 위의 와 σ를 초 기 예측값으로 이용하였다.

(9)

Fig. 2에 회귀착점 계산 과정에서의 응력의 변화를 나타 내었다. 초기 탄성예측 응력이 3축 주응력이고 그 값이 (σ_xx, σ_yy, σ_zz) = (1825.9, -1192.4, -635.9) MPa 인 경우 응력 의 수렴 경로가 삼각형 실선으로 표시되었고, 소성예측응 력일 경우 초기 예측응력은 (σ_xx, σ_yy, σ_zz) = (753.8, -190.7, -565.5)이고 수렴경로가 동그라미 점으로 표시되었다. 그 림에서 볼 수 있듯이, 소성예측응력의 경우가 항복면에서 가까운 위치에서 반복계산을 시작한다는 것을 볼 수 있다. 그림에서 예로 든 항복면은 3장에서 기술할 적층제조된 스테인레스 강의 항복면을 이용하였다.

Fig. 2

Return mapping stress trajectories of elastic and plastic trial stresses for the considered stainless steel.

3. Hill의 이방성 2차 항복함수와 소성변형률 속도 포텐셜

본 논문에서는 적층제조 기법으로 제작된 재료의 이방 성을 나타내기 위한 항복함수로 Hill의 2차 항복함수를 사 용하였다. 항복함수의 식은 다음과 같다[6].

(10)

σ_ij는 실험실 좌표계방향의 응력성분을 나타낸다. F, G, H, L, M, N은 물질의 비등방성을 표현하는 계수이다. 만약 F = G = H = 1, L = M = N = 3이라면 v on Mises 등방성 항 복함수에 해당한다. Hill의 이론에 따르면, 각 항복함수에 는 쌍대관계(duality relation)에 있는 소성변형률 속도 포텐 셜 함수가 정의된다. (10)식에 해당하는 쌍대포텐셜 함수는 으로 가정할 수 있다. 여기서 계수 B_i는 다음의 Hill의 쌍 대관계식을 만족시키도록 결정된다.

(11)

(12)

위 두 식의 의미는 항복면 상에서 계산된 유동벡터가 일 정한 값의 소성변형률 포텐셜 값을 가지고, 소성변형률 포 텐셜 상에서 계산된 법선벡터가 일정한 항복함수 값을 가 짐을 나타낸다. 2차 항복함수일 경우 해석적으로 쌍대 포 텐셜 함수가 구해질 수 있다[3].

Shen 등[5]은 스테인레스 강의 적층제조 방향에 대한 인 장강도를 측정하였다. 측정결과에 의하면 항복강도는 A, B, C 세 방향에 대하여 0.48:0.5:1의 비율로 측정되었다. (A,B,C의 방향은 참고문헌[5] 참조.) 실험결과를 이용하여 3D Printing 된 스테인레스 강의 이방성 계수를 다음과 같 이 가정하였다.

(13)

여기서 X는 A 방향으로의 1축 인장시의 항복응력 값이다 (즉 X = σf). 전단응력에 대한 이방성은 실험에서 측정되지 않았으므로 등방성 계수로 가정하였다. 따라서 항복조건 식은 이다. 위의 항복함수는 볼록함수(convex function) 조건을 만족시킴을 확인할 수 있다. 이에 해당하는 소성변형률 속 도 포텐셜 함수는 이다. Figs. 3과 4에 고려한 이방성 스테인레스 강[5]의 항 복면과 포텐셜면을 도시하였다.

Fig 3

Plane stress yield surface of anisotropic stainless steel with ϕ (σ /σ₀) = 1.

Fig 4

Plastic strain rate potential surface corresponding to the yield surface in Fig. 3 with ψ (Δε ^p/Δε ^p₀) = 1.

(14)

(15)

4. 수치계산을 통한 수렴속도 검증

이번 절에서는 기존의 탄성예측응력과 본 논문에서 제 시한 소성예측응력 사이의 정량적인 비교를 통하여, 회귀 착점 계산에서의 소성예측응력의 수치적 효율성을 확인하 고자 한다. 탄소성 문제의 조건은 2축 주응력이 가해지는 평면 응력 문제를 고려하였다(따라서 σ_zz = 0). 사용한 스 테인레스 강[5]의 탄성계수는 160 GPa, 푸아송비는 0.3, 초 기항복강도는 500 MPa, 선형 소성경화계수는 40 GPa로 가 정하였고, 항복함수의 비등방성 계수는 3절에 기술하였다.

Figs. 5과 6는 초기에 응력이 없는 상태에서 2축 주응력 Δσ_xx 와 Δσ_yy 이 가해졌을 때 회귀착점 방법에 의해 NRM 축차가 새로운 해로 수렴하기 위한 반복계산횟수를 나타 낸 그림이다. 소성예측응력(plastic trial stress)이 탄성예측 응력에 비하여 적은 수의 반복계산이 필요함을 볼 수 있 다. 이의 원인은 소성예측응력이 항복면에 가까운 응력상 태에서 반복계산을 시작하기 때문인 것으로 판단된다.

Fig 5

Number of iterations for elastic trial stress. σ₀ is the normalizing initial yield strength.

Fig 6

Number of iterations for plastic trial stress. σ₀ is the normalizing initial yield strength.

5. 이방성 적층 제조된 인장시편의 모델링

본 절에서는 3D Printing된 스테인레스 강[5]을 이방성 소재로 모델링 하여 유한요소법으로 인장시험을 시뮬레이 션 한 결과를 제시하였다. 인장시편의 방향은 Fig. 7에 표 시된 바와 같이 적층방향 z’과 그에 수직한 방향 x’의 2가 지를 고려하였다. 3절에서 기술한 바와 같이 스테인레스 강의 이방성을 정의하기 위하여, 참고문헌[5]를 이용하였 으며, 적층방향 z’ 방향으로 2배의 항복강도를 가진다고 가정하였다. 이러한 소재의 이방성을 Hill의 항복함수로 모델링하였으며, 이를 ABAQUS/Standard[9]의 UMAT 서 브루틴으로 작성하였다. 시편의 인장방향을 z’ 로 설정하 기 위하여 ABAQUS의 *orientation 명령어를 이용하여, 다음과 같이 재료의 로컬 좌표축을 실험실 좌표축에 상대 적으로 경사지도록 설정하였다.

Fig. 7

Specimen directions of additively manufactured stainless steel. Z’ is the additive manufacturing direction.

*orientation,

0., 1., 0., 0., 0., 1.

Fig. 8은 두 가지 인장시편에 대한 공칭응력과 공칭변형 률 곡선을 유한요소해석 결과로부터 도출한 것이다. 초기 항복응력 값은 x’ 방향으로 대략 500MPa 이고 z’ 방향으 로 1000MPa 인 것을 확인할 수 있다. 또한 변형경화 하 는 동안 z’ 방향으로 대략 2배의 항복강도를 나타내는 것 을 확인할 수 있다. 이는 참고문헌[5]의 실험에서 관찰한 바와 동일하다. 구체적으로 실험결과와 시뮬레이션 결과 를 비교해 보면 탄성영역을 제외하며 거의 동일함을 확인 할 수 있다. 계산에 사용된 탄성계수의 값과 이방성 항복 함수의 계수를 정밀하게 조정한다면, 계산결과가 실험결 과와 더욱 일치하도록 조정할 수 있으리라 판단된다.

Fig. 8

Nominal stress vs nominal strain curves of x’ and z’ tensile loading directions.

6. 결 론

본 논문에서는 회귀착점(return mapping) 방법의 수렴속 도를 향상시키고자 Hill의 쌍대 포텐셜 이론에 기반한 소 성예측응력(plastic trial stress)을 뉴튼-랩슨 방법의 초기예 측응력으로 사용하였다. 소성예측응력의 수치적 효율성을 검증하기 위하여, 2차원 평면 주응력 조건을 이용하였으 며, 모든 응력의 조합에서 반복계산 횟수가 줄어드는 결과 를 확인할 수 있었다. 3D Printing에 의해 적층제조된 구 조물은 강한 이방성을 나태 내므로, 이를 모델링 하기 위 하여 2차 이방성 항복함수와 이에 대응하여 소성변형률 속도 포텐셜 함수를 사용하였다. 적층 방향과 이에 수직인 방향으로의 인장 시편을 고려하였으며, ABAQUS UMAT 유한요소 해석을 통하여 실험에서 관찰된 수직방향으로의 이방성을 성공적으로 시뮬레이션 할 수 있었다.

Acknowledgements

감사의 글

이 논문은 2021년도 한국기술교육대학교 교수 교육연구 진흥과제 지원에 의하여 연구되었음.

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• 2. W. M. Scherzinger: Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 317 (2017) 526..Article
• 3. S.-Y. Yang and W. Tong: NUMISHEET 2022, Proceedings of the 12th International Conference and Workshop on Numerical Simulation of 3D Sheet Metal Forming Processes, (2022) 3..
• 4. R. Wauthlea, B. Vrancken, B. Beynaerts, K. Jorissen, J. Schrooten, J.-P. Kruth and J. V. Humbeeck: Addit. Manuf., 5 (2015) 77..Article
• 5. L.-C. Shen, X.-H. Yang, J.-R. Ho, P.-C. Tung and C.-K. Lin: Materials, 13 (2020) 5142..ArticlePubMedPMC
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• 8. R. D. Krieg and D. B.Krieg: Accuracies of Numerical Solution Methods for the Elastic-Perfectly Plastic Model, J. Pressure Vessel Technol., 99 (1977) 510..Article
• 9. ABAQUS 6.13 Documentation. Dassault Systemes..

Figure & Data

References

Citations

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